Τρίτη, 5 Ιανουαρίου 2016

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ



















Κατά τη διάρκεια της ιστορίας αρκετοί λαοί ανέπτυξαν τουλάχιστον ένα σύστημα αρίθμησης, είτε δανείστηκαν άλλων λαών κάνοντας κάποιες τροποποιήσεις. Σ’ αυτήν την εργασία θα προσπαθήσουμε να αναλύσουμε τα διάφορα συστήματα αρίθμησης του κάθε λαού από την αρχαιότητα μέχρι το πρόσφατο παρελθόν.
Θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα:
Ποιο είναι το καλύτερο σύστημα αρίθμησης;
Γιατί εμείς χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και οι υπολογιστές το δυαδικό;
Γιατί επιλέξαμε το 10 ως βάση και όχι μικρότερο ή μεγαλύτερο αριθμό;



ΕΙΣΑΓΩΓΗ


Ο άνθρωπος από την εμφάνισή του στη γη είχε ανάγκη να μετρά, να συγκρίνει. Πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνια για να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση με τα δάχτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για τη γραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλες προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις.
Η ιστορία των αριθμών είναι τόσο παλιά όσο και η ιστορία της γραφής. Θα τη βρούμε σε όλους τους πολιτισμούς που άφησαν γραπτά ίχνη Έλληνες, Αιγύπτιοι, Ρωμαίοι, Ινδοί, Κινέζοι, Άραβες κ.ά.
Η ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει πράγματα της καθημερινότητάς του όπως τα ζώα του, τον οδήγησε στη δημιουργία συμβόλων. Τέτοια σύμβολα ήταν η τελεία, κάποια γραμμή, κάποιο σχήμα του χεριού του Κ. Όλα αυτά όμως δεν αποτελούν ένα σύστημα αρίθμησης.
Οι αρχαίοι Έλληνες σκέφτηκαν να χρησιμοποιήσουν για αριθμητικά σύμβολα τα γράμματα του αλφαβήτου π.χ. α=1, β=2. Οι Ρωμαίοι, χρησιμοποίησαν γραμμές, όπως τα δάχτυλα των χεριών, την παλάμη με τον αντίχειρα για να γράψουν το 5[=V] ,τις δύο παλάμες για το δέκα.
Από το Ελληνικό και Ρωμαϊκό σύστημα αριθμών όμως έλειπε το 0. Έτσι ήρθαν οι Άραβες που δημιούργησαν το σύγχρονο δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που περιέχει και τον αριθμό 0. Σήμερα χρησιμοποιούμε σύστημα :1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 και με το συνδυασμό αυτών των δέκα ψηφίων μπορούμε να δηλώσουμε ένα αριθμητικό ποσό.
Οι γνώσεις που προσφέρουν στον άνθρωπο οι αριθμοί, τον κάνουν πιο ικανό να καταλαβαίνει τα προβλήματα και να τα λύνει.
Με τον καιρό επινοήθηκαν ειδικά σύμβολα και ομάδες συμβόλων για να αποδοθούν οι διάφορες ποσότητες. Τα σύμβολα αυτά ονομάστηκαν αριθμοί και πιθανολογούνται στην 5η,4η και 3η χιλιετία.


   

Αργότερα άρχισαν να χωρίζουν τους αριθμούς σε τάξεις. Ο μηχανισμός του χωρισμού είναι περίπου ίδιος. Συνήθως, νμονάδες της πρώτης τάξης δίνουν μια μονάδα της δεύτερης τάξης και γενικά ν μονάδες κάθε τάξης δίνουν μια μονάδα της αμέσως ανώτερης της τάξης. Το ν είναι ένας συγκεκριμένος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από τη μονάδα.
Με αυτό τον τρόπο δίνεται συγκεκριμένη αξία σε μια συμβολοσειρά.
Έτσι δημιουργήθηκαν τα συστήματα αρίθμησης.
Ιστορικά να αναφέρουμε ότι το 1937 βρέθηκε στην κεντρική Τσεχοσλοβακία ένα κόκαλο λύκου που χρονολογήθηκε γύρω στο 28.000 π. Χ.
Το κόκαλο φέρει συνολικά 55 εγκοπές που χωρίζονται ανά 5. Η πιο πιθανή ερμηνεία είναι ότι κάποιος προϊστορικός άνθρωπος έκανε αυτές τις εγκοπές συνειδητά. Ίσως σημείωσε κάποιο πλήθος αντικειμένων δέρματα ή πρόβατα ή κάτι άλλο.


Τα περισσότερα συστήματα αρίθμησης του ανθρώπου περιλαμβάνουν την πενταδική, δεκαδική και εικοσαδική αρίθμηση που σχετίζεται με την αρίθμηση με τα δάχτυλά μας (πέντε = ένα χέρι, δέκα = δύο χέρια, είκοσι = δάχτυλα των χεριών και των ποδιών.
Ο Αριστοτέλης είχε κάνει τη σκέψη ότι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης σχετίζεται με το ότι έχουμε 10 δάχτυλα χεριών. Η πρώτη στοιχειώδης απόπειρα μέτρησης κάποιου πλήθους, (π.χ. προβάτων), είναι η ένα προς ένα αντιστοίχησή του με κάποιο τυποποιημένο πρότυπο. Τα δέκα δάχτυλα των χεριών είναι ένα εύλογο τέτοιο πρότυπο
Στην αρχαιότητα ένα απλό αριθμόργανο που το χρησιμοποιούσαν για την εκτέλεση βασικών πράξεων (πρόσθεση , αφαίρεση και πολλαπλασιασμό) είναι ο άβακας..

ΑΒΑΚΑΣ
Ο άβακας είναι ένα απλό αριθμοόργανο που το χρησιμοποιούμε για την εκτέλεση των βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός). Η λέξη άβακας προέρχεται από την ελληνική λέξη άβαξ που σημαίνει “τραπέζι υπολογισμών”. Επειδή το άβαξ σήμαινε “τραπέζι με άμμο και σκόνη που χρησιμοποιείτο για την σχεδίαση γεωμετρικών σχημάτων, υπάρχει επίσης η υπόθεση ότι η ελληνική λέξη προήλθε από την σημιτική ρίζα abaq, την εβραϊκή λέξη για τη σκόνη. Χρησιμοποιούταν για αιώνες πολύ πριν την υιοθέτηση του συστήματος των Αραβικών αριθμών. Πιθανολογείτε ότι αποκαλύφθηκε την εποχή των Βαβυλώνιων (περίπου το 5000 π.χ.) οι οποίοι το χρησιμοποιούσαν κατά κόρον. Αργότερα (περίπου 1500π.χ.) έφτασε στην Ελλάδα όπου και χρησιμοποιήθηκε από τους Έλληνες της προϊστορικής εποχής. Αποτελεί ένα ορθογώνιο πλαίσιο που είναι κατασκευασμένο από ξύλο και χωρισμένο σε παράλληλες γραμμές. Κάθε γραμμή περιέχει ένα σύνολο από χάντρες που κινούνται πάνω σε στρωμένα λεπτά ξυλάκια ή σύρματα. Σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως από εμπορευόμενους και γραφειακούς υπαλλήλους από Κίνα και αλλού και ως παιδικό εκπαιδευτικό παιχνίδι από μικρά παιδιά για την εκμάθηση των αριθμών και απλών προσθέσεων.
ΡΩΜΑΪΚΟΣ ΑΒΑΚΑΣ
Ο τελευταίος Ρωμαϊκός Άβακας που παρουσιάζεται στην διπλανή αναδημιουργία αποτελείται από οχτώ μακριά αυλάκια που περιέχουν μέχρι 5 χάντρες το καθένα και 8 πιο μικρά αυλάκια που έχουν είτε μία είτε καμία χάντρα. Το χαρακτηριστικό αυλάκι ….δείχνει τις μονάδες, το χ τις δεκάδες κλπ. μέχρι το εκατομμύριο. Οι χάντρες στα πιο μικρά αυλάκια δείχνουν 5 πεντάδες μονάδες, 5 δεκάδες κλπ. Ουσιαστικά σε ένα κωδικοποιημένο πενταδικό σύστημα, προφανώς σχετικό με τους Ρωμαϊκούς τρόπους μετρήσεων των αριθμών. Τα μικρά αυλάκια στα δεξιά μπορεί να είχαν χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των ρωμαϊκών ουγγίων. Οι υπολογισμοί γίνονται με την βοήθεια των χαντρών που πιθανών θα γλιστρούσαν πάνω-κάτω στα αυλάκια για να δείξουν την αξία κάθε στήλης.


Θα ασχοληθούμε με τα συστήματα αρίθμησης των λαών από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Όμως το σύστημα που έχει επικρατήσει είναι ένα σύστημα αρίθμησης θέσης (θεσιακό). Ας δούμε τι σημαίνει σύστημα αρίθμησης θέσης.


ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΘΕΣΗΣ
Τα συστήματα θέσης χρησιμοποιούνται ευρύτατα σήμερα και είναι τα πιο τελειοποιημένα συστήματα αρίθμησης. Κάθε θεσιακό σύστημα έχει τα εξής χαρακτηριστικά:
Όλη η σειρά των αριθμών έχει χωριστεί σε τάξεις έτσι, ώστε α μονάδες κάθε τάξης να δίνουν μια μονάδα της αμέσως ανώτερης τάξης με α σταθερό φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδας. 
Ένας τέτοιος αριθμός α ονομάζεται βάση του συστήματος π.χ. το σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ένα σύστημα θέσης (θεσιακό) με βάση το 10, γιατί δέκα απλές μονάδες μας κάνουν μια δεκάδα, δέκα δεκάδες μια εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες μια χιλιάδα κ.ο.κ.
Σε κάθε τάξη υπάρχει μια συγκεκριμένη μονάδα που χαρακτηρίζει την τάξη.
 Π.χ. στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, η απλή μονάδα πρώτης τάξης είναι το 1, η μονάδα της δεύτερης τάξης είναι το 10 (δεκάδα), η μονάδα της τρίτης τάξης είναι το 100=102 (εκατοντάδα) κ.ο.κ.
Κάθε ψηφίο που χρησιμοποιείται για τη γραφή αριθμού σε σύστημα αρίθμησης θέσης με βάση α, πρέπει να είναι μικρότερο από τη βάση, δηλαδή να είναι μικρότερο από τον αριθμό α.
Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9 που είναι όλα μικρότερα της βάσης 10.
Η αξία κάθε ψηφίου οποιουδήποτε αριθμού, εξαρτάται από τη θέση που έχει το ψηφίο στον αριθμό.
Τα ψηφία των αριθμών, όπως είναι γραμμένα από τα δεξιά προς τ’αριστερά, παριστάνουν το πλήθος των μονάδων των αντίστοιχων τάξεων. Δηλαδή το πρώτο από δεξιά ψηφίο του αριθμού παριστάνει το πλήθος των απλών μονάδων της δεύτερης τάξης κ.ο.κ.
Π.χ. στον αριθμό 2764 το 4 παριστάνει τις μονάδες, το 6 τις δεκάδες, το 7 τις εκατοντάδες και το 2 τις χιλιάδες.
Η γραφή κάθε αριθμού στηρίζεται στην πολλαπλασιαστική αρχή θέσης και στην πρόσθεση. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ψηφίο του αριθμού παριστάνει τόσες απλές μονάδες, όσο είναι το γινόμενό του επί τη μονάδα της τάξης στην οποία αντιστοιχεί η θέση του. 
Το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων ισούται με ολόκληρο τον αριθμό.
Π.χ. στο δεκαδικό σύστημα ο αριθμός 5732 αναλύεται ως
5732= 2x 1+3x10+7x102+5x103
Στο πενταδικό σύστημα ο αριθμός 2134 αναλύεται ως εξής:
21345= 4x50+3x51+1x52+2x53
Κάτι που μας ενδιαφέρει είναι το ότι μπορούμε να γράψουμε στο δεκαδικό σύστημα οποιονδήποτε αριθμό που είναι γραμμένος σε σύστημα με βάση διαφορετική από το 10.
Π.χ. έχουμε: 10112 = 1x20+0x21+1x22+1x23+0x24+1x25 =1+0+4+8+0+32=45
Παραθέτουμε τα πιο σημαντικά συστήματα αρίθμησης
Δεκαδικό σύστημα
Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα. Όπως συμβαίνει με όλα τα σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί ο άνθρωπος έτσι ώστε να περιγράψει ποσότητες ή πλήθος αντικειμένων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για την δημιουργία των ονομασιών των ποσοτήτων χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα τα γνωστά μας : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. 
Για το λόγο αυτό λέγεται «δεκαδικό» και για το λόγο αυτό λέμε ότι έχει βάση το δέκα. 
Έτσι κάθε ποσότητα θα αποκτήσει έναν συμβολισμό σύμφωνα με το δεκαδικό σύστημα, ο οποίος δεν θα είναι τίποτα άλλο από μία ακολουθία από τα προαναφερόμενα δέκα σύμβολα. Π.χ. μία ποσότητα από δεκαπέντε χιλιάδες πράγματα συμβολίζεται ως 15000.
Συνοψίζοντας το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένας κανόνας αντιστοίχισης ποσοτήτων σε ακολουθίες συμβόλων. Τα σύμβολα που είναι διαθέσιμα στο δεκαδικό είναι δέκα.
Το πιο διαδεδομένο σύστημα θέσης είναι σήμερα το δεκαδικό. Αυτό συμβαίνει γιατί το σύστημα αυτό έχει τα εξής πλεονεκτήματα:
- Είναι σύστημα θέσης και δέκα μονάδες μιας τάξης δίνουν μια μονάδα της αμέσως ανώτερης τάξης.
- Έχει ειδικό σύμβολο για το μηδέν και ξεχωριστό σύμβολο για κάθε αριθμό μικρότερο από τη βάση. 
Τα σύμβολά του είναι: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9.
- Τα σύμβολα αυτά είναι πολύ απλά εύχρηστα καθώς μπορούν να σχεδιαστούν εύκολα ακόμα και από μικρά ψηφίδια και μπορούν να συνδυαστούν για να συμβολίσουν οποιονδήποτε αριθμό, οσοδήποτε μεγάλο.
-Οι πράξεις γίνονται αρκετά εύκολα με τη χρησιμοποίηση αυτών των συμβόλων.
-Ο αριθμός 10, που είναι βάση του συστήματος είναι εύκολος στη γραφή και οι δυνάμεις του οι οποίες αποτελούν τις μονάδες των τάξεων του συστήματος, μπορούν να υπολογιστούν εύκολα. Η βάση 10 είναι περισσότερο λειτουργική από άλλες πολύ μικρές βάσεις, όπως π.χ. το 2. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5321 χρειάζεται μόνο τέσσερα ψηφία για να συμβολιστεί στο δεκαδικό σύστημα, ενώ ο ίδιος αριθμός στο δυαδικό σύστημα χρειάζεται 13 ψηφία, αφού στο σύστημα αυτό γράφεται 10100110010012.
Ωστόσο, και σε συστήματα με άλλες βάσεις (π.χ. το 5, το 7, το 8, το 12) οι πράξεις θα μπορούσαν να γίνουν σχετικά εύκολα, με τους ίδιους κανόνες και με τεχνικές απόλυτα ανάλογες με αυτές που χρησιμοποιούμε στο δεκαδικό σύστημα. Η διαφορά θα ήταν ότι θα είχαμε να υπολογίσουμε δυνάμεις και πολλαπλάσια των αριθμών 5, 7, 8, 12 αντίστοιχα, αντί για δυνάμεις και πολλαπλάσια του 10 που είναι ευκολότερες.
Δυαδικό σύστημα


Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης αναπαριστά αριθμητικές τιμές χρησιμοποιώντας δύο σύμβολα, το 0 και το 1. Πιο συγκεκριμένα, το δυαδικό είναι ένα θεσιακό σύστημα με βάση το 2. Κάθε ψηφίο ανήκει σε μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη κατά ένα από αυτήν του ψηφίου στα δεξιά του. Έτσι, κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού από δεξιά προς τα αριστερά δηλώνει μονάδες, δυάδες, τετράδες κ.ο.κ.
Ονομάζεται δυαδικό επειδή η αναπαράσταση της πληροφορίας γίνεται με χρήση δύο συμβόλων.
Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

Για την πρόσθεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 και 1 το κρατούμενο
1 + 1 + 1 = 1 και 1 το κρατούμενο
Έτσι για παράδειγμα, για να προσθέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους αριθμούς 121 και 107 έχουμε :
(121) 01111001
(107) 01101011 +
(228) 11100100
Όπου η πρόσθεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλαδή από την λιγότερο σημαντική θέση.
Δυαδικό σύστημα στους υπολογιστές
Η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδομένων στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. Οδηγώντας, για παράδειγμα, την είσοδο ενός λογικού κυκλώματος με τάση ρεύματος μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ. +3 Volts )αναπαριστούμε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο με τάση ρεύματος μικρότερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ. +2 Volts ) αναπαριστούμε το ψηφίο "0". Λόγω της σχετικά απλής υλοποίησης στα ηλεκτρονικά κυκλώματα το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται εκτεταμένα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων. Άλλα χρησιμοποιούμενα συστήματα είναι το σύστημα κινητής υποδιαστολής, το σύστημα σταθερής υποδιαστολής, η δυαδική κωδικοποίηση δεκαδικού, και άλλα.




Δεκαεξαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιείται γιατί μας επιτρέπει να διατρέχουμε εύκολα μακρές σειρές από 0 και 1 του δυαδικού συστήματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι 16= 24. Γράφοντας λοιπόν τα ψηφία του δεκαεξαδικού σαν τριάδες του δυαδικού, μπορούμε να αντικαθιστούμε 4 δυαδικά ψηφία με ένα δεκαεξαδικό.
Το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα θεσιακό σύστημα αναπαράστασης αριθμών. Έχει ως βάση του τον αριθμό 16. Αυτό σημαίνει ότι, σε μια σειρά ψηφίων, κάθε ψηφίο έχει αξία 16 φορές μεγαλύτερη από εκείνο που βρίσκεται αμέσως δεξιά του. Δηλαδή, οι θέσεις των ψηφίων στο δεκαεξαδικό σύστημα δηλώνουν μονάδες, άδες, άδες κ.ο.κ., σε αναλογία με το δεκαδικό σύστημα, όπου οι θέσεις δηλώνουν δυνάμεις του δέκα (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες...)
Για την αναπαράστασή του, το δεκαεξαδικό σύστημα έχει ανάγκη 16 ψηφίων. Για τα πρώτα δέκα, χρησιμοποιούνται τα ψηφία 0 - 9 της αραβικής αναπαράστασης του δεκαδικού συστήματος. Για να αναπαρασταθούν οι αξίες από το 10 έως και το 15, δανειζόμαστε τα πρώτα 6 κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου: A, B, C, D, E και F.
Η αρχική χρήση του ήταν στους υπολογιστές, μιας και είναι εύκολη η μεταφορά ενός αριθμού από το δυαδικό, δηλαδή την γλώσσα μηχανής. Η μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού στο δεκαεξαδικό σύστημα είναι εύκολη υπόθεση αρκεί να σκεφτούμε ότι κάθε δεκαεξαδικός αριθμός αποτελείται από έναν 4ψήφιο δυαδικό. Οι εντολές στους αρχικούς υπολογιστές γράφονταν σαν δεκαεξαδικοί αριθμοί και η γλώσσα μηχανής είναι βασισμένη σε αυτούς.
Το δεκαεξαδικό σύστημα παρουσιάζει ειδικό ενδιαφέρον, γιατί υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα σε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο και σε κάθε μία από τις ομάδες 4 ψηφίων του δυαδικού συστήματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το 16 είναιδύναμη του 2, . Εύκολα προκύπτει από αυτό ότι υπάρχουν 16 δυνατοί συνδυασμοί 4 ψηφίων, το καθένα από τα οποία μπορεί να είναι είτε "0" είτε "1", δηλ. τα ψηφία του δυαδικού συστήματος. Κάθε ένας από αυτούς τους συνδυασμούς αντιστοιχεί στο δεκαεξαδικό ψηφίο που παριστάνει την αριθμητική αξία του, ως εξής:
Λόγω της αντιστοιχίας αυτής, το δεκαεξαδικό σύστημα, όπως και το οκταδικό, παίζουν σπουδαίο ρόλο στον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η κύρια χρησιμότητά τους είναι να συμπτύσσουν ομάδες από bits (κάθε bit αναπαριστά ένα δυαδικό ψηφίο). Για παράδειγμα, δύο δεκαεξαδικά ψηφία μπορούν να κωδικοποιήσουν μια ψηφιολέξη (byte), δηλ. μια σειρά από 8 bits.


Δωδεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Το δωδεκαδικό σύστημα προέρχεται από τη νεολιθική εποχή και παρέμεινε ως συμπληρωματικό του δεκαδικού σήμερα.
Απομεινάρια του συναντούμε στη μέτρηση σκευών της κουζίνας (ντουζίνα) και στη μέτρηση των αβγών σε 12-άδες. Επιπλέον, η δωδεκάδα, ο χωρισμός της ημέρας και της νύχτας σε 12 ώρες και του έτους σε 12 μήνες αποτελούν κατάλοιπα του αρχέγονου δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης.
Γενικά, ο αριθμός 12 αντιπροσωπεύει έναν πλήρη κύκλο και έχει ένα σημαντικό χαρακτήρα που ήταν από τους πιο αξιοσημείωτους στους αρχαίους πολιτισμούς.
Αρχικά, οι Σουμέριοι ιερείς-αστρονόμοι όπως και οι Εβραίοι κατάφεραν να διαιρέσουν το έτος σε μικρότερες μονάδες. Διαμόρφωσαν μ’αυτόν τον τρόπο το σεληνιακό έτος που είχε δώδεκα μήνες των 30 περίπου ημερών και το ημερονύκτιό τους είχε δώδεκα ντάννα.
Στη συνέχεια, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν το ηλιακό έτος των 360 ημερών που διαιρούνταν σε 12 μήνες των 30 ημερών. Τέλος, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι διαίρεσαν τη μέρα σε 12 ώρες και 12 τη νύχτα.
Όσον αφορά την Κίνα μπορούμε να πούμε πως ο ζωδιακός κύκλος αντιπροσωπεύεται από δώδεκα ζώα που το καθένα ασκεί επίδραση για ένα χρόνο. Αλλά και οι 12 πρώτες ημέρες του έτους ήταν πολύ σπουδαίες από θρησκευτική άποψη, διότι ήταν αφιερωμένες σε ειδικές ιεροτελεστίες. Μ’αυτές τις 12 ημέρες συνδέθηκε η γιορτή της μεγάλης νύχτας όταν οι Κινέζοι αστρονόμοι συνειδητοποίησαν τη φαινομενική κίνηση του Ήλιου και τη δίοδό του από τα ηλιοστάσια.
Περνώντας μετά στο Χριστιανισμό βλέπουμε ότι 12 ήταν οι μαθητές του Χριστού όπως και 12 ήταν τα Ευαγγέλια.
Καταλαβαίνουμε λοιπόν πως ο αριθμός 12 ήταν σημαντικός από τους αρχαίους πολιτισμούς και γι’αυτό χρησιμοποιήθηκε ως μονάδα μέτρησης και δημιουργήθηκε το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης.


Οκταδικό σύστημα αρίθμησης

Το οκταδικό σύστημα αρίθμησης έχει βάση το 8 και τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Στο οκταδικό σύστημα για να βρούμε την τιμή ενός ψηφίου το πολλαπλασιάζουμε με την κατάλληλη δύναμη του 8. Έτσι ο οκταδικός 7651 μετατρέπεται σε δεκαδικό με τους υπολογισμούς :
7651 = 7 x 83 + 6 x 82+ 5 x 81+ 1 x 80
7651 = 7 x 512 + 6 x 64 + 5 x 8 + 1
7651 = 3584 + 384 + 40 + 1=4009
Ο οκταδικός 7651 αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμό 4009.
Η μετατροπή ενός οκταδικού αριθμού σε δυαδικό είναι σχετικά απλή. Μετατρέπεται κάθε ψηφίο του οκταδικού στο ισοδύναμό του , στο δυαδικό, με την χρήση τριών δυαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός 7651 αντιστοιχεί στον δυαδικό αριθμό 111 110 101 001. Η μετατροπή από το δυαδικό στο οκταδικό σύστημα γίνεται ομαδοποιώντας τα δυαδικά ψηφία ανά 3 αρχίζοντας από τα λιγότερο σημαντικά ( από δεξιά ) και γράφοντας το αντίστοιχο οκταδικό.

  
























      




Ψηφίο μηδέν
Τον αριθμό μηδέν επινόησε ο Brahmagupta. 
Στο βιβλίο του, το οποίο λέγεται Brahmasphutasiddhanta αναφέρει ότι όταν το μηδέν προστίθεται ή αφαιρείται σε έναν αριθμό ο αριθμός αυτός δεν αλλάζει, όταν όμως ένας αριθμός πολλαπλασιάζεται με το μηδέν τότε ο πολλαπλασιαζόμενος αριθμός γίνεται μηδέν,(για τη διαίρεση δεν αναφέρει τίποτα). 
 Ωστόσο και πριν από τον Brahmagupta σε αρκετούς πολιτισμούς υπήρχε ένα σύμβολο για το << τίποτα>>. 
Το αρχαιότερο είναι το μηδέν του Βαβυλωνιακού αριθμητικού συστήματος, από τον 3ο αιώνα π.χ., ενώ αργότερα εμφανίστηκε και το ελληνιστικό μηδέν, καθώς και το μηδέν των Μάγια. Επιπλέον το ινδικό μηδέν φαίνεται ότι προέκυψε ανεξάρτητα από τις παλαιότερες εκδοχές. Το πρώιμο μηδέν δεν εκλαμβανόταν ως το μέσο ενός άξονα με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. 
Γι αυτό οι άνθρωποι σε εκείνες τις εποχές δεν μπορούσαν να κάνουν υπολογισμούς του τύπου -3+5=2, ούτε μπορούσαν να χειριστούν μαθηματικές έννοιες όπως το χρέος και το έλλειμμα. Αντίθετα το μηδέν αρχικά λειτούργησε ως σύμβολο που δέσμευε θέσεις. 
Για παράδειγμα όταν γραφόταν ο αριθμός 104, το μηδέν υποδήλωνε ότι δεν υπάρχουν δεκάδες.
Περνώντας στα μαθηματικά μηδέν είναι " η οντότητα η οποία, παρόλο που δεν έχει αριθμητική αξία αποτελεί την σπονδυλική στήλη της αριθμογραφίας θέσης''.
Συμβολίζεται με το σύμβολο μηδέν(0). Επίσης είναι ένα από τα δέκα ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, παριστάνει τον πληθάριθμο ενός κενού συνόλου.
 Ακόμη είναι το μικρότερο στοιχείο του συνόλου Ν τον φυσικών ακέραιων αριθμών και το μόνο για το οποίο δεν υπάρχει προηγούμενο στοιχείο στο Ν. Επιπλέον το μηδέν δείχνει την απουσία ποσότητας στην τάξη (μονάδες, δεκάδες, κ.τ.λ.)στην οποία εμφανίζεται.
Σύμφωνα με την ιστορία το μηδέν εμφανίστηκε πολύ αργότερα από ότι θα φανταζόταν κανείς, μόλις το 650μ.Χ στην Ινδία. Επειδή οι αρχαίοι λαοί ασχολούνται με πρακτικά προβλήματα της καθημερινής ζωής δεν είχε νόημα για αυτούς η έννοια των αρνητικών αριθμών.
 Γι αυτό άργησε τόσο η εμφάνισή του. Το μηδέν χρειάστηκε για πρακτικούς λόγους όταν οι άνθρωποι έπρεπε να γράψουν αστρονομικά δεδομένα και θέλησαν να εκφράσουν την κενή θέση.
Η επινόηση του μηδενός αποδίδεται στους ινδούς. 
Στην Ινδική άλγεβρα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ένα μέρος αφιερωμένο στους κανόνες των πράξεων με το μηδέν γιατί αποδείχνει πως οι ινδοί γνώριζαν όχι μόνο ότι α+0=α, α*0=0 αλλά και το γεγονός ότι το μηδέν ως παρονομαστής του κλάσματος 'έδινε γένεση σε οντότητα νέου είδους προικισμένη με την ιδιότητα να μην μεταβάλει μέγεθος με την προσθήκη ή την αφαίρεση αριθμού οσοδήποτε μεγάλου. Η οντότητα αυτή είναι το άπειρο.
Επίσης η ίδια ανάγκη δημιουργήθηκε και στους Μάγια της κεντρικής Αμερικής οι οποίοι, ίσως, από τον 3ο αιώνα μΧ χρησιμοποιούσαν εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης με ένα σύμβολο με σχήμα κοχυλιού για το μηδέν, που σήμαινε μια κενή θέση.
Πιθανότατα το σύμβολο μηδέν (0) προήλθε από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης <<ουδέν>> ή της λέξης <<οβολός>> που σήμαινε το σχεδόν μηδενικό ποσό για την εποχή.
Επίσης το μηδέν πέρασε στους Άραβες τον 8ο αιώνα χάρη στην αραβική μετάφραση του έργου <<Σιντχάντα>> του μαθηματικού Βραχμαγκούπτα και στις αρχές του 13ου αιώνα στην Ευρώπη χάρη στο έργο <<Το βιβλίο του Άβακα>> του Φιμπονάτσι.
Τέλος το μηδέν χρησιμοποιήθηκε ευρέως στον κόσμο των μαθηματικών και κυρίως στην επίλυση των εξισώσεων μετά τον 16ο αιώνα.






Η ομάδα μας έχει ερευνήσει τα συστήματα αρίθμησης από την προϊστορική εποχή ως την εποχή των Αρχαίων Ελλήνων. Ειδικότερα έχουμε ερευνήσει για τους λαούς των Σουμέριων , Βαβυλώνιων, Αιγύπτιων και των αρχαίων Ελλήνων. 
Στην έρευνά μας έχουμε συναντήσει δυο διαφορετικά συστήματα . Αυτά είναι το εξηνταδικό και το δεκαδικό.


ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ

Ζούσαν στη χώρα που σήμερα ονομάζεται Ιράκ. Η χώρα αυτή διασχίζεται από δυο μεγάλα ποτάμια, τον Τίγρη και τον Ευφράτη. Το εξηνταδικό σύστημα χρησιμοποιήθηκε από τους Σουμέριους το 2500 π.χ. Χαρακτηριστικό τους ήταν ότι έγραφαν τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά .Έδωσαν ιδιαίτερη σημασία στο εξήντα ,λόγω του πλήθους των αριθμών με τους οποίους μπορεί να διαιρεθεί.


ΒΑΒΥΛΩΝΙΟΙ


Το εξηνταδικό σύστημα χρησιμοποιήθηκε και από τους Βαβυλώνιους το 2000 έως το 500 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις 4 πράξεις , τις ρίζες και έλυναν εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθμού .Το αριθμητικό τους σύστημα έχει ως βάση το 60. Η υιοθέτηση μιας τέτοιας μεγάλης και δύσχρηστης βάσης, ίσως εξηγείται από υο γεγονός ότι εκείνες τις εποχές, χρήση αριθμών δεν έκανε ο ευρύς πληθυσμός της χώρας αλλά μόνο μια μικρή τάξη επαγγελματιών, οι Γραφείς (σψριβε). Το αριθμητικό τους σύστημα ήταν επαναληπτικό και όχι ψηφιακό, αφού οι μονάδες του παριστάνονταν με επανάληψη του ίδιου συμβόλου και όχι με διαφορετικά σύμβολα. Χρησιμοποιώντας μόνο δυο την << σφήνα>> και το << καρφί>> αν ήθελαν για παράδειγμα να συμβολίσουν τον αριθμό 5 έγραφαν ισάριθμες σφήνες. Επίσης, ήταν θεσιακό που σημαίνει ότι η αξία κάθε αριθμού καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό τέλος δεν είχαν σύμβολο για το 0 ούτε και υποδιαστολή. Μια εφαρμογή του εξηνταδικού συστήματος σήμερα είναι στην καταμέτρηση του χρόνου όπου η ώρα έχει 60 λεπτά και το λεπτό 60 δευτερόλεπτα.


ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ

Οι Αιγύπτιοι (5000-332 π.χ.) χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό σύστημα που έχει ως βάση το 10 .Το σύστημα τους ήταν επαναληπτικό, μη θεσιακό . Η Αιγυπτιακή αρίθμηση διέθετε ένα ειδικό ιερογλυφικό σύμβολο για τη μονάδα και τις δυνάμεις του 10. Ανέπτυξαν τα μαθηματικά της διάρκειας του 1ου μισού της τρίτης χιλιετίας π.χ. Οι Αιγύπτιοι εκτελούσαν πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις .Δεν ανάπτυξαν ένα πιο αποδοτικό σύστημα καταγραφής κλασμάτων εξαιτίας του συστήματος των συμβόλων που χρησιμοποιούσαν.



ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ


Μινωική εποχή

Το δεκαδικό σύστημα ήταν αυτό που χρησιμοποιούσαν οι κάτοικοι της Κρήτης . Το
σύστημα αυτό ανακαλύφθηκε από τον Άγγλο αρχαιολόγο A. Evans από ανασκαφές που έγιναν στα ανάκτορα της Κνωσού και της Αγίας Τριάδας. Το αρχαιότερο σύστημα αρίθμησης ονομαζόταν ιδεολογικό ή εικονογραφημένο και είχε πολλές ομοιότητες με την ιερογλυφική αρίθμηση των Αιγυπτίων. Το 1600 π.χ. χρησιμοποιείται ένα άλλο είδος γραφής, η Γραμμική Α. Σε αυτήν τα γράμματα αποδίδονται σε πιο απλοποιημένη μορφή και επίσης έχει αποκρυπτογραφηθεί το αριθμητικό της σύστημα.
Αρχαίοι Έλληνες
Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να κάνουν πολύπλοκους υπολογισμούς με απόλυτη ακρίβεια. Τα ψηφία 1,2,3.... που συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν είχαν επινοηθεί αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν οι μεταγενέστεροι Άραβες . Παρόλα αυτά, ο Αρχιμήδης κατόρθωσε με γεωμετρικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς να εκτιμήσει τον αριθμό των κόκκων άμμου της Γής , πράγμα αφάνταστο για την εποχή του, αφού οι τότε επιστήμονες αρκούνταν να πιστεύουν ότι οι κόκκοι της άμμου είναι <<αμέτρητοι >>. Το έργο του αυτό, με τον τίτλο Ψαμμίτης είναι ορόσημο της μαθηματικής επιστήμης. Χρησιμοποιούσαν δυο είδη αριθμητικών συστημάτων με βάση το 10: το Ηρωδιανό ή το Αττικό και το Ιωνικό ή Αλεξανδρινό. Δεν χρησιμοποιούσαν τιμές θέσης ,όπως γίνεται σήμερα. Επίσης, δεν χρησιμοποιούσαν το 0 και τα κλάσματα.

 






ΡΩΜΑΙΟΙ
Πριν από χιλιάδες χρόνια, μεγάλες περιοχές της Ευρώπης της Ασίας και της Αφρικής εξουσιάζονταν από την Ρώμη. Σ’ αυτήν την “Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία” χρησιμοποιήθηκε ένα νέο σύστημα αρίθμησης βασισμένο στον αριθμό πέντε. Οι Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν σύμβολα που είχαν πάρει από το αλφάβητό τους. Για όλους σχεδόν τους λαούς της Ευρώπης και της Αφρικής που χρησιμοποιούν το ρωμαϊκό αλφάβητο, τα ρωμαϊκά σύμβολα είναι πολύ γνωστά. Το σύστημα των Ρωμαίων μέχρι το τέσσερα μοιάζει με το με το αιγυπτιακό. Αντί να γράφουν το πέντε όπως οι ΑιγύπτιοιIIIII το έγραφαν V δηλαδή χρησιμοποιούσαν μόνο τέσσερις φορές το I. Όταν τα ρωμαϊκά αυτά ψηφία εμφανίστηκαν για πρώτη φορά δεν είχε σημασία με ποια σειρά θα έμπαιναν στον αριθμό. Είτε έγραφε κανείς XVI, είτε IXV ή VIX ήταν το ίδιο πράγμα δηλαδή ο αριθμός 16. Ανεξάρτητα, επομένως, από τη σειρά με την οποία πρόσθετε κανείς τα δέκα, το πέντε και το ένα, έφτανε πάντα στο δεκαέξι. Κατά την ρωμαϊκή γραφή συνεπώς δεν ισχύει το μονοσήμαντο της παράστασης των αριθμών (ο ίδιος αριθμός μπορεί να παρασταθεί με περισσότερες από έναν τρόπους). Αυτό δυσκολεύει τη γραφή και εμποδίζει τον αυτοματισμό, γι’ αυτό το λόγο δεν παρουσιάζει πρακτική ωφελιμότητα, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για την παράσταση μεγάλων αριθμών και ακόμα δεν επιτρέπει την διατύπωση για τη γρήγορη εκτέλεση πράξεων σε αντίθεση με την αρίθμηση θέσης. Τα ίδια μειονεκτήματα παρουσιάζει και η ελληνική γραφή των αριθμών.
Το Ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών, που χρησιμοποιείτο ευρέως στην Αρχαία Ρώμη, επιβιώνει ακόμη και στις μέρες μας. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, είναι ένα σύστημα που απεικονίζει τους αριθμούς με συνδυασμούς γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου που ανάλογα με τη διάταξη τους , προστίθενται ή αφαιρούνται. Βασίζεται στο αντίστοιχο σύστημα αναπαράστασης των Ετρούσκων. Στην αρχική του μορφή περιελάμβανε 5 γράμματα (I, V, X, L καιC).
Οι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι: I=1, II=2, III=3, IV=4, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8 , IX=9 και Χ=10


Το σημερινό σύστημα περιλαμβάνει 7 γράμματα:
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.


-Τα σύμβολα I, X, C και Μ μπορούν να επαναληφθούν μέχρι τρεις φορές. Κατ' εξαίρεση στα καντράν ρολογιών συχνά υπάρχει και η αναπαράσταση IIII που αντιστοιχεί στον αριθμό 4.
-Τα σύμβολα D, L, V δεν μπορούν να επαναληφθούν
-Τo σύμβολο I αφαιρείται μόνο από το V,X
-Τo σύμβολο X αφαιρείται μόνο από το L,C
-Τo σύμβολο C αφαιρείται μόνο από το D,M
-Τα σύμβολα V , L M δεν αφαιρούνται ποτέ
-Το δεκαδικό ψηφίο 0 (μηδέν) και ο αριθμός "0" δεν αναπαρίστανται και δεν υπάρχουν στους ρωμαϊκούς αριθμούς.




Το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών σήμερα χρησιμοποιείται κυρίως σε καλλιτεχνικές αναπαραστάσεις όπως στον κινηματογράφο για την απεικόνιση του έτους παραγωγής της ταινίας και στο καντράν αναλογικών ρολογιών






ΙΝΔΟΙ


Οι Ινδουιστές στην Ινδία δημιούργησαν ένα τέτοιο σύνολο από σύμβολα για τους αριθμούς, που το χρησιμοποιούμε ακόμη και σήμερα. Οι μορφές των συμβόλων που χρησιμοποιούμε σήμερα δεν είναι ακριβώς ίδιες με αυτές που χρησιμοποιούσαν οι Ινδουιστές πριν από πολλούς αιώνες. Παρόλα αυτά, αν παρατηρήσουμε τους Ινδουιστικούς αριθμούς, μπορούμε να δούμε σε αυτούς τις πρώτες αρχές των αριθμητικών συμβόλων που χρησιμοποιούμε και σήμερα. Από τους Ινδουιστές μαθαίνουμε τα εξής: 1=ένα, 2=δύο, 3=τρία, 4=τέσσερα, 5=πέντε, 6=έξι, 7=επτά, 8=οχτώ, 9=εννιά.Οι αριθμοί εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην Ινδία πριν από 2200 χρόνια περίπου.
Τα ψηφία 1,2,3 από πολλούς αποκαλούνται <<αραβικοί αριθμοί>>. Τα επινόησαν όμως αυτοί που είχαν αποφασιστικά στραμμένο το πνεύμα τους στις εφαρμογές στους μεγάλους αριθμούς και τον αριθμητικό λογισμό, οι Ινδοί .Το μηδέν έχει ακόμα μορφή ενός μικρού κύκλου ομοίου με το γράμμα(0) είναι ακριβώς αυτή ενός μικρού κύκλου που το έλεγαν <<σούνια>> που σημαίνει τίποτα. Επίσης δεν είχαν την απαιτούμενη γνώση κάποιου συστήματος θέσης. Γύρω στο 500μ.χ την εποχή που ζούσε ο μαθηματικός Αριαμπάτα αναπτύχθηκε ένα νέο σύστημα θέσης με 10 σύμβολα όπου το ένα από αυτά είναι για το μηδέν. Άλλοι θεωρούν ότι η χρήση αυτού του συστήματος, γενικεύτηκε ύστερα από το700μχ.Είναι γεγονός ότι αρκετά χρόνια πριν οι Ινδοί είχαν έρθει σε επαφή με τον ελληνικό πολιτισμό και ακόμη ήταν ενημερωμένοι για το έργο του Αστρονόμου Πτολεμαίου.O Πτολεμαίος μάλιστα κατά τους υπολογισμούς του με εξηκονταδικά κλάσματα χρησιμοποίησε το σύμβολο<<0>> για το μηδέν.
Για την αναπαράσταση ενός αριθμού επαναλαμβάνονταν τα σύμβολα αυτά όσες φορές χρειαζόταν δηλαδή κάτι ανάλογο με το σύστημα αρίθμησης των Ρωμαίων. Στη γραφή αυτή οι αριθμοί γράφονταν από τα δεξιά προς τα αριστερά δηλαδή το μικρότερο στοιχείο βρισκόταν στο αριστερό μέρος του αριθμού. Δεν υπάρχει κάποιο σύμβολο για το μηδέν.
Τέλος η εξέλιξη των σημερινών συμβόλων πραγματοποιήθηκε με τη συνειδητοποίηση του συστήματος θέσης, δηλαδή τα ίδια σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τους εννιά πρώτους αριθμούς, να χρησιμοποιούνται και για τα αντίστοιχα πολλαπλάσια οποιασδήποτε δύναμης του δέκα.

ΙΝΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ


Εκ- 1
Ντας- 10
Σαου-100
Xαζαρ- 1.000
Λακχ- 100.000
Κρορε- 1.000.000
Αραβμπ-10.000.000
Χαραβμπ- 100.000.000.000
Παντμα- 1.000.000.000.000.000
Σακχ- 100.000.000.000.000.000
Μαχασανκχ- 10.000.000.000.000.000.000




ΑΡΑΒΕΣ

Γύρω στο 800 μ. Χ. όχι πολύ αργότερα από τότε που ανακαλύφθηκε το σύμβολο για το 0, τα Ινδουιστικά ψηφία εξαπλώθηκαν στις χώρες βόρεια και δυτικά της Ινδίας. Οι άνθρωποι που κατοικούσαν στις χώρες αυτές μιλούσαν Αραβικά. Αραβόφωνοι λαοί ζούσαν επίσης, σ’ όλη τη βόρεια Αφρική καθώς και στην Ισπανία. Οι ινδουιστικοί αριθμοί εξαπλώθηκαν σ όλο το τμήμα της Αφρικής και από ‘κει στην Ισπανία.
Οι Άραβες ονόμαζαν το σύμβολο για το μηδέν «σιρφ». Οι Ευρωπαίοι ονόμασαν τα αριθμητικά σύμβολα του αραβικού συστήματος αραβικούς αριθμούς ή χαρακτήρες, γιατί είχαν προέλθει από αραβόφωνους λαούς. Οι Ευρωπαίοι, βέβαια, δεν ήξεραν ότι η καταγωγή τους ήταν από την Ινδία. Οι Άραβες δεν επηρεάστηκαν μόνο από τους Ινδούς αλλά δέχτηκαν και την αρχαία ελληνική κληρονομιά. Τέλος, είχαν ανακαλύψει μεθόδους για την απλοποίηση εξισώσεων.
Δηλαδή οι Άραβες δεν ανακάλυψαν ένα δικό τους σύστημα αρίθμησης, αλλά τελειοποίησαν αυτό των Ινδών.
Η μεταφορά και η διάδοση του δεκαδικού συστήματος στις χώρες της Μεσογείου κατ’ αρχήν και στην Ευρώπη αργότερα, έγινε από τους Άραβες μαθηματικούς και εμπόρους. Γι’ αυτό και το σύστημα αυτό ονομάζεται Ινδοαραβικό.
Ινδικό Σύστημα Αρίθμησης
Το παραδοσιακό ινδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται σήμερα στην Ινδία, στο Πακιστάν και στο Μπαγκλαντές και βασίζεται σε ομαδοποίηση εκατοντάδων αντί για χιλιάδων στο σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται και δέκα χιλιάδων που χρησιμοποιείται στην Κίνα και την Ιαπωνία. Σήμερα στην Ινδία χρησιμοποιούνται συχνά οι όροι «κρόρε»(krore) και «λάκχ»(lakh).
Εκ- (EK) =1
Ντας-(Das) =10
Σαγαστρ-(Sahast) / Χαζάρ-(Hazaar) =1.000
Λακχ- (Lakh) =100.000 (1.00.000)
Κρόρε-(Crore) =10.000.000 (1.00.00.000)






Τα προκολομβιανά μαθηματικά και Πολιτισμοί της Μεσοαμερικής

Οι Μάγια και οι Αζτέκοι είναι δύο λαοί που έζησαν στην Κεντρική Αμερική πριν φτάσουν εκεί οι Ευρωπαίοι. Οι Αζτέκοι χρησιμοποίησαν ένα αριθμητικό σύστημα που βασιζόταν στον αριθμό 20.
Έτσι το σύστημα αρίθμησης τους αύξανε εικοσαδικά από τα κάτω προς τα πάνω. Γνώριζαν τη χρήση του μηδενικού και έτσι μπορούσαν να γράψουν εύκολα αριθμούς που αντιπροσώπευαν οποιαδήποτε αξία. 
Το ίδιο εύκολα έκαναν προσθέσεις κι αφαιρέσεις.




Μάγια


Ήταν λαός που ασχολούνταν με τη καρποφόρα γη, καλλιεργούσαν καλαμπόκι και άλλες καλλιέργειες, μ' ένα προηγμένο γεωργικό σύστημα που περιελάμβανε άρδευση. Κατεργάζονταν το χαλκό και το χρυσό, γνώριζαν την υφαντουργία και η γραπτή τους γλώσσα ήταν ένα σύστημα ιερογλυφικών, λαξευμένων σε πέτρα, αλλά και χαρτί φτιαγμένο από φλοιό δέντρων. Από τα χειρόγραφα της Δρέσδης (σπάνια χειρόγραφα της φυλής των Μάγια) προκύπτει ότι η τελεία και η παύλα, ήταν τα δύο μοναδικά σύμβολα του αριθμητικού συστήματος των Μάγια. Η τελεία αντιπροσώπευε τη μονάδα και η παύλα την πεντάδα. Δηλαδή, μια τελεία αντιπροσώπευε την αριθμητική αξία του 1 και μια παύλα το 5. Συνεπώς, το " ._ " για τη φυλή των Μάγια σήμαινε 15.
Πρόκειται για ένα εξελιγμένο προσθετικό και «θεσιακό» σύστημα, που χρησιμοποιούσαν κατά τον 3ο αιώνα μΧ , όπως προκύπτει από τα χειρόγραφά τους. Αν εμείς σήμερα γνωρίζουμε το δεκαδικό σύστημα, οι Μάγια χρησιμοποιούσαν το εικοσαδικό σύστημα, όπου οι τάξεις τους πήγαιναν από τη μονάδα στην εικοσάδα, στοιβάζοντας τους αριθμούς θεσιακά τον έναν πάνω στον άλλον και διαβάζοντας τον αριθμό με κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω. Με αυτό το τρόπο μπορούσαν να πραγματοποιήσουν πολύπλοκους υπολογισμούς.


Ο αριθμός "0" είναι μια άλλη πρωτοπορία της φυλής των Μάγια. Πρόκειται για το σύμβολο που "βασάνισε" τους λαούς που ασχολήθηκαν με την πρώτη αρίθμηση, και που η αξία και σημασία του προέρχεται από την αναγκαιότητα ύπαρξης και εφεύρεσης ενός συμβόλου, για τις τάξεις που είναι μηδενικές. Συμβόλου, που θα μπορεί να εκπροσωπεί το "καθόλου δεκάδες". Στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, αν δεν υπήρχε το μηδέν θα ήταν πολύ πιθανό να μπερδεύαμε για παράδειγμα, το 102 με το 12. ΟιΜάγια χρησιμοποιούσαν το εικοσαδικό σύστημα. Η φυλή των Μάγια, ανεπηρέαστη από τους Βαβυλώνιους και άλλους λαούς που έκαναν τα πρώτα τους βήματα στην ανακάλυψη ενός αριθμητικού συστήματος που γεννούσε η αναγκαιότητα για γραπτούς πρακτικούς υπολογισμούς, υιοθέτησαν εύκολα σύμβολα, για να γεμίσουν το κενό στις αριθμητικές τους πράξεις. Χρησιμοποίησαν μορφές ματιών, κοχυλιών και άλλων μορφών, για ν' αντιμετωπίσουν το πρόβλημα των "άδειων τάξεων" στους υπολογισμούς τους.
Και το υιοθέτησαν εύκολα, γιατί δεν ήταν κάτι νέο γι' αυτούς. 1100 χρόνια πριν από τους Βαβυλώνιους, οι ιερείς-αστρονόμοι πρόγονοι των Μάγια, είχαν αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα για πρώτη φορά το 3113 πΧ στη προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν ένα σύστημα ιερογλυφικών για τη καταγραφή του παρελθόντα χρόνου στις ιερές ημερολογιακές τους στήλες. 
Σύστημα, του οποίου τα σύμβολα αντιπροσώπευαν τα χρονικά διαστήματα, ως πολλαπλάσια των ημερών.
Το ιερογλυφικό αυτό σύστημα δεν είχε σχέση με την αριθμητική, αλλά με την αλληλουχία των χρονικών περιόδων που, σύμφωνα με τη θρησκεία των Μάγια, η κάθε μια προερχόταν από έναν θεό, φορέα και υπεύθυνο για την περίοδο αυτή. Ονόματα όπως "ΚΙΝ", "ΟΥΙΝΤΑΛ", "ΤΟΥΝ" κ.ά. ήταν ονόματα θεών που ήταν υπεύθυνοι για συγκεκριμένη χρονική περίοδο, στους οποίους προσέφεραν θυσίες προκειμένου να τους ευχαριστήσουν και να πάει καλά η χρονιά.

 










Ίνκας


1410-1530 μΧ. Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10 για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα). Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα κουιπού. Τα κουιπού ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, μη ψηφιακό. Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους .





ΚΙΝΑ











Από την αρχή η κινέζικη αριθμητική συσχετιζόταν με τα μαντεία. Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται συνήθως σήμερα βρέθηκαν επάνω σε μαντικά οστά και θυρεούς χελώνας. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιούσε σύστημα αριθμών με βάση το 60. Για τους Κινέζους δεν υπήρχε το 0, το οποίο δεν χρησιμοποιήθηκε πριν από τον 15ο αιώνα πΧ. Χρησιμοποιούσαν αυστηρή δεκαδική σημειογραφία, πράγμα που καθιστά το κινέζικο αριθμητικό σύστημα τελείως ανεξάρτητο από εκείνο που χρησιμοποιήθηκε στη Μεσοποταμία. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις , αόριστες εξισώσεις και αρνητικούς αριθμούς. Είχαν υπολογίσει το π με πολύ υψηλό αριθμό ακριβείας, δίνοντας του ανώτερες και κατώτερες τιμές όπως 3,1415927 και 3,1415926.... Επίσης , έκαναν αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο είναι το Τσόου Πεϊ Σαουντσινγκ, που γράφτηκε μεταξύ του 500 και του 200 π.Χ.
Η ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης στην Κίνα εξελίχθηκε σχετικά απομονωμένη από την ταυτόχρονη εξέλιξή της σε άλλους πολιτισμούς. Οι λόγοι ήταν πολλοί. Σημαντική αιτία ήταν η γεωγραφική θέση της Κίνας η οποία περιορίζεται από πολλά και μεγάλα φυσικά εμπόδια (βουνά και θάλασσα). Εξάλλου χαρακτηριστικό είναι ότι σε περιόδους κατάκτησης της Κίνας από ξένους καταδρομείς οι θεσμοί των Κινέζων με τις παραδόσεις και τον πολιτισμό τους ενισχύονται ακόμα περισσότερο αντί να στρέφονται στα ξένα στοιχεία. Είναι από το 1000 π.Χ. ακόμα υπάρχει μια ομαλή πολιτισμική συνέχεια στην Κίνα και είναι ενδιαφέρον να μελετήσει κανείς την πορεία της μαθηματικής σκέψης που παρουσιάζει περιόδους ραγδαίας ανάπτυξης όπως και περιόδους στασιμότητας και παρακμής. Θα ήταν όμως λάθος να θεωρούνται τα Κινέζικα μαθηματικά των μεταγενέστερων χρόνων φαινόμενο εντελώς απομονωμένο, με τον τρόπο που είναι ίσως τα μαθηματικά των Μάγια. Υπήρχαν πάντοτε, τουλάχιστον από την εποχή των Χαν, αξιόλογες εμπορικές και πολιτισμικές διασυνδέσεις με άλλα μέρη της Ασίας, ακόμα και της Ευρώπης. Η ινδική επιστήμη και στην συνέχεια η Αραβική είχαν την επίδραση τους στην κινεζική, αλλά και η κινεζική με την σειρά της άφησε την σφραγίδα της πάνω στις επιστήμες άλλων χωρών. Ένα παράδειγμα είναι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση των αρνητικών αριθμών, που μάλλον εκπορεύτηκαν από την Κίνα προς την Ινδία. Ωστόσο, ασήμαντες ή μηδαμινές είναι οι ενδείξεις Ελληνικής επιρροής, παρόλο που σημειώθηκε κάποια παράλληλη ανάπτυξη.
Από τον 4ο αιώνα π.χ. χρησιμοποιούνταν αριθμητικοί πίνακες για υπολογισμούς και οι Κινέζοι πρέπει να είναι οι πρώτοι που τους χρησιμοποίησαν.

 Οι πίνακες αυτοί σχετίζονται με τον τρόπο αναπαράστασης των αριθμών με ξυλάκια. 

Στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου Sun Zi suanjing, o Sun Zi περιγράφει την τεχνική εκτέλεσης υπολογισμών και συγκεκριμένα πολλαπλασιασμό, διαίρεση, ακόμα και υπολογισμό τετραγωνικής ρίζας- με ξυλάκια, πάνω σε ειδικούς πίνακες με (τρεις) γραμμές και στήλες, σαν σκακιέρα. Οι πίνακες αυτοί με τα ξυλάκια είναι ένα είδος αρχαίων υπολογιστικών μηχανών. Οι αρνητικοί αριθμοί αναπαριστάνονται με ξυλάκια διαφορετικού χρώματος.

 Τα ξυλάκια των θετικών ψηφίων είχαν συνήθως κόκκινο χρώμα ενώ των αρνητικών μαύρο. Ο άβακας ο οποίος είναι επίσης κινεζική επινόηση χρησιμοποιήθηκε πολύ αργότερα, κατά τον 14ο αιώνα περίπου.











Ελάχιστα στοιχεία υπάρχουν καταγεγραμμένα για τα κινέζικα μαθηματικά πριν από το 100 π. Χ. Το 1984 ανακαλύφθηκε το βιβλίο Suan Shu Shu (Βιβλίο για την Αριθμητική) το οποίο χρονολογείται γύρω στο 180 π.Χ. Είναι ένα βιβλίο γραμμένο σε λουρίδες από μπαμπού βρέθηκε κοντά στο Jiangling στην επαρχία Hubei. Τα επόμενα σημαντικότερα μαθηματικά έργα , για τα οποία υπάρχουν αναφορές , είναι στο βιβλίο Shuau Shu ( Υπολογιστικές μέθοδοι του XuShang) που αποτελείται από 26 κεφάλαια.




ΕΠΙΛΟΓΟΣ


Σε όλη την ιστορία της ανθρωπότητας και σε όλα τα γεωγραφικά πλάτη και μήκη οι λαοί ανέπτυξαν ή δανείστηκαν εκείνα τα συστήματα αρίθμησης που ικανοποιούσαν τις ανάγκες τους. Τα πιο εξελιγμένα είναι τα θεσιακά ή θεσαξιακά συστήματα αρίθμησης και κάθε φορά επιλέγουμε ως καλύτερο αυτό που μας εξυπηρετεί.
Στις μέρες μας έχει επικρατήσει το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί η βάση, το10, είναι αριθμός μικρός άρα χρειάζονται λίγα σύμβολα (10 ψηφία) που τα θυμόμαστε εύκολα. Επίσης οι δυνάμεις του 10 υπολογίζονται εύκολα.
Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές διότι ο υπολογιστής δεν μπορεί να <<δει>> ψηφία αλλά αναγνωρίζει δυαδικές καταστάσεις:
Διέλευση ή μη ηλεκτρικού ρεύματος
Χαμηλή ή υψηλή ένταση ηλεκτρικού ρεύματος
Χαμηλό ή υψηλό ηλεκτρικό δυναμικό
που τις αντιστοιχούμε στα ψηφία 0 και 1.


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ


1. Lucas N.H. Bunt- Phillip S. Jones- Jack D. Bedient: «Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών»,
2. Nean Der Waerden: «Αφύπνιση της επιστήμης»,
Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης
3. Calvin C. Clawson: «Η μαγεία των μαθηματικών»,
ΚΕΔΡΟΣ
4. Εξαρχάκος Θ.: «Διδακτική των μαθηματικών»
5. Εγκυκλοπαίδεια «Δομή»
6. Αλαφάκη Σ.- Παπασταυρίδης Σ.: «Το καλύτερο σύστημα αρίθμησης»,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α’ 76 τ. 4/5
7. Στάμη Τσικοπούλου : «Τα ψηφία και οι αριθμοί»,


8. Σιούλας Γ.: «Ιστορία των αριθμών και των συμβόλων»,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β’ λθ΄τ. 1/6
9. Ωραιόπουλος Γ.: «Αριθμητικό σύστημα θέσης με βάση το 10»,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α’ λξ΄ τ. 2/2
10. Γεωργίου Σ.: «Συστήματα αρίθμησης»,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α’ λ. τ. 2/10




ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΝΑΡΤΩΝΤΑΙ ΟΙ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ










































[Π. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ
Ν. ΑΧΑΛΑΪΑ
Γ. ΓΚΡΙΤΣΕΝΚΟ
Φ. ΚΑΠΛΑΝΙ
Ν. ΚΑΡΑΔΗΜΑΣ
Α. ΚΕΡΜΕΖΟ
Κ. ΚΟΥΤΑΛΑ
Ι. ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ
Τ. ΜΟΥΤΣΟΝΤΕΜ
Α. ΜΠΑΜΠΟΥΛΗΣ
Γ. ΝΙΚΑΣ
Κ. ΠΑΒΕΛΗΣ
Μ. ΠΑΝΩΡΗ
Κ. ΠΕΤΡΙΔΟΥ
Ε. ΣΑΜΑΡΑ
Κ. ΤΟΤΣΙ

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΕΣ: Θ. ΚΟΝΙΔΑΡΗ
Α. ΦΑΡΚΩΝΑ



Δημοσιεύτηκε 23rd July 2012 από τον χρήστη ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ


ΤΟ ΕΙΔΑΜΕ ΕΔΩ






Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου